1․ Կրճատիր կոոտորակը․

1.9/18=1/2

2.8/10=4/5

3.6/8=3/4

4.5/20=1/4

5.18/24=9/12

6.6/9=2/3

8.4/16=2/8

9.18/36=9/18

10.6/42=3/21

11.13/39=13/3

12.21/28=3/4

13.63/77=9/11

15.21/63=1/3

16.30/84=15/42

17.50/125=10/25

18.72/108=46/54

19.49/112=7/16

20.240/320=3/4

2. Պարզեցրո՛ւ արտահայտությունը.

1. 3x+27
2. -48x+24
3. 4x+3
4. -2-7x²
5. 5+10x²
6. 15x²+6x
7. -7x² +8x
8. 2x²-3x
9. -26x+12
10. 90x-48
11. -18x-59
12. 2x²+(-8x)
13. -2x+2
14. 14-5x
15. 34x+19
16. -38x+24

3. Կատարի՛ր գումարում.

1)1/3+2/3=(1+2)/3=3/3
2)1/2+1/3=(3+2)/6=5/6
3)2/5+1/2=(4+5)/10=9/10
4)3/7+2/3=(9+14)/21=23/21
5)3/4+2/5=(15+8)/20=23/20
6)3/5+1/5=(3+1)/5=4/5
7)5/9+1/2=(10+9)/18=19/18
8)3/5+3/8=(24+15)/40=39/40
9)5/9+3/7=(35+27)/63=62/63
10)5/11+1/4=(20+11)/44=31/44
11)3/7+1/6=(18+7)/42=25/42
12)3/14+3/4=(12+42)/56=54/56

4. Հաշվի՛ր տարբերությունը.

13)1/2-1/3=(3-2)/6=1/6
14)4/5-2/3=(12-10)/15=2/15
15)2/3-1/6=(4-1)/6=3/6=1/2
16)3/5-1/2=(6-5)/10=1/10
17)8/9-2/5=(40-18)/45=22/45
18)4/7-1/9=(36-7)/63=29/63
19)2/5-1/4=(8-5)/20=3/20
20)5/8-2/6=(30-16)/48=14/30
21)4/15-1/10=(8-3)/30=5/30
22)7/20-1/5=(7-4)/20=3/20
23)3/18-1/12=(6-3)/36=3/36=1/12
24)9/24-3/16=(18-9)/48=9/48=3/16

ա) 3a²b³c∙6a³bc²=18a⁵b⁴c³
բ)7bc⁴e²∙14b²c⁵e=98b³c⁹e³
գ)8c²e³k∙12c²ek=96c⁴e⁴k²
դ)(-16)e²k⁴p³∙8e²k³p=-128e⁴k⁷p⁴
ե)(-14)a³bc²∙4ab²c²=-56a⁴b³c⁴
զ)7k²p²x^2∙(-23)k²p⁴x²=-161k⁴p⁶x⁵
է)2/3p³x³y²∙2 1/2pxy²=10/6*p⁴x⁴y⁴
ը)(-4/7)ace²∙1 1/6a²c²e²=-28/42*a³c³e⁴
թ)(-2 1/2)ae²k²∙(-1 9/11)a²ek=220/55*a³e³k³
ժ)(-1 1/4)a³kp²∙8/5ak²p=-40/20a⁴k³p³

ա)3a+8a-a=11a-a=10a
բ)2x-7x+3x=5x-7x=-2x
գ)5y-15y-8y=-10y-8y=-18y
դ)-2a-3a+8a=-5a+8a=3a
ե)b-7b+3b-5b-2b=-6b+3b-7b=-10b
զ)2x-11x-2x+13x-7x=-13x+13x-7x=-7x
է)ab-3ab-ab-ab=-3ab-ab=-4ab
ը)-xy-7xy+xy=-7xy
թ)3m²n-m²n-2m²n=2m²n-2m²n=0
ժ)-ax²-6ax²-2ax²=-7ax²-2ax²=-9ax²

ա)4aab-5ba²+7a²b-aba=4a²b-5ba²+7a²b-a²b=5a²b²
բ)25aa²b³+2a³b∙5b²-a²b²∙8ab-9a³b³+8aa²b³=25a³b³+10a³b³-8a³b³-9a³b³+8a³b³=26a³b³
գ)3pq-(p+q²)=3pq-p²-2pq-q²=pq-p²-q²
դ)7a²-(5a²-6m³)=7a²-5a²+6m²=2a²+6m²
ե)x+(y-(x-y))=x+(y-x+y)=x+y-x+y=2y
զ)x-((y-x)-y)=x-(y-x-y)=x+x=2x
է)(4a²-5b²)(5a²-4b²)=20a⁴-16a²b²-25b²a²+20b⁴=20a⁴-41a²b²+20b⁴
ը)(7ab²+3b³)(2ab³-4a²)=14a²b⁵-28a³b²+6ab⁶-12a²b³
թ)(a²+3ab-2b²)(2a²-3b)=2a⁴-3a²b+6a³b-9ab²-4a²b²+6b³
ժ)(3x²-4x+7)(5x²-x)=15x⁴-3x³-20x³+4x²+35x²-7x=15x⁴-23x³+39x²-7x

1. Կատարի՛ր բազմապատկում.

1. x²-3x+2x-6=x²-x-6
2. 8y²-6y-20y+15=8y²-26y+15
3. 2-6x-4x+12x²=2-10x+12x²
4. 6x²-4xy-15yx+10y²=6x²-19xy+10y²
5. 20z²-4z⁴+5-z²=19z²-4z⁴+5
6. 6x³-3x²+9x-8x²+4x-12=6x³-12x²+13x-12
7. 10x²+20x+2x+4=10x²+22x+4
8. 6a²-9a+8a-12=6a²-a-12
9. 15x+3-10x²-2x=13x+3-10x²
10. 12a⁴-16a²b²+15b²a²-20b⁴=12a⁴-a²b²-20b⁴
11. 6-12y³-10y³+20y⁶=6-22y³+20y⁶
12. 4y⁴+12y³+2y³+6y²-y-3=4y⁴+14y³+6y²-y-3
13. 12b-3b²+8-2b=10b²-3b²+8
14. 35z²-14z-15z+6=35z²-29z+6
15. 12b²+16bc-15bc-20c²=12b²+bc-20c²
16. 7a⁶-14a³b³+8a³b³-16b⁶=7a⁶-6a³b³-16b⁶
17. 8x⁵-10x⁶+4x⁴-5x⁵=3x⁵-10x⁶+4x⁴
18. 12x³-20x²y-3x²y+5xy²+6xy²-10y³=12x³-23x²y+11xy²-10y³

2. Բարձրացրո՛ւ աստիճան.

11)x¹⁶ⁿ
12)(-a^k-1)⁴=a^4k-4
13)(-b⁴ⁿ)³=-b¹²ⁿ
14)(-x⁶)^2k=x^12k
15)(-a³)²ⁿ⁺¹=-a⁶ⁿ⁺³
16)(z^3m)^2k=z^6mk
17)(4m³)²=16m⁶
18)(-3y⁵)³=-27y¹⁵
19)(-6c⁴)²=36c⁸
20)(-2p⁶)⁴=16p²⁴
21)(3a⁴b⁵)³=27a¹²b¹⁵
22)(2x²y³)⁵=32x¹⁰y¹⁵
23)-3(3x³y⁴z²)⁵=-96x¹⁵y²⁰z¹⁰
24)-2(-3x⁴y⁶)³=54x¹²y¹⁸

Հավելյալ խնդիրներ

3. Արույրը 60 % պղնձի և 40 % ցինկի համաձուլվածք է։ Արույր պատրաստելուհամար վառարանի մեջ դրել են ցինկ և 210 կգ պղինձ։ Որքա՞ն ցինկ են դրել վառարանի մեջ։ Որքա՞ն արույր կստացվի։

60% — 210 կգ

40% — x

x=40×210:60=8400:60=140 կգ

4. Քաղաքից դուրս եկավ մի մեքենա, որի արագությունը 80 կմ/ժ էր։ Հետո նրա հետևից շարժվեց մեկ ուրիշ մեքենա, որի արագությունը 90 կմ/ժ էր։ Քաղաքից դուրս գալուց ինչքա՞ն ժամանակ անց երկրորդ մեքենան առաջինից 20 կմ առաջ անցած կլինի։

1ժամ-80կմ

45ր-x կմ

x=80×45/60=60

60+20=80

90-80=10

80:10=8 ժամ

Պատ՝ 8ժամ։

5. Առաջին փականագործին 120 մանրակ պատրաստելու համար պետք է 3 ժամ, իսկ երկրորդին՝ երկու անգամ ավելի։ Ինչքա՞ն ժամանակում փականագործները, աշխատելով միասին, կպատրաստեն 600 մանրակ։

120:3=40

120:6=20

40+20

600:60=10

Առաջադրանք 1. Բարձրացրո՛ւ քառակուսի

1)(m+n)²=m²+2mn+n²
2)(p-q)²=p²-2pq+q²
3)(c-d)²=c²-2cd+d²
4)(2+a)²=4+4a+a²
5)(3-b)²=9-6b+b²
6)(x+5)²=x²+10x+25
7)(x+1)²=x²+2x+1
8)(3a-b)²=9a²-6ab+b²
9)(5z+t)²=25z²+10zt+t²
10)(a-4)²=a²-8a+16
11)(3x-2y)²=9x²-12xy+4y²
12)(6a-4b)²=36a²-48ab+16b²
13)(a²-b)²=a⁴-2a²b+b²
14)(c³-1)²=c⁶-2c³+1
15)(a²+1)²=a⁴+2a²+1
16)(x²+y²)²=x⁴+2x²y²+y⁴
17)(z³-u³)²=z⁶-2z⁶u³+u⁶
18)(m³+n²)²=m⁶+2m⁶n²+n⁴
19)(2a³-3b)²=4a⁶-12a³b+9b²
20)(a+a³)²=a²+2a⁴+a²
21)(x-1/5)²=x²-2/5x+1/25
22)(x/2-y/3)²=x²/4-xy/3+y²/9
23)(a/4+b/3)²=a²/16+ab/6+b²/9
24)(a-1/2)²=a²-a+1/4
25)(b+1/3)²=b²+2/3b+1/9
26)(1/2n+3p)²=1/4n²+3pn+9p²
27)(2 1/3m+1 1/2n)²=(7/3m+3/2n)²=49/9m²+7mn+9/4n²
28)(1/4k+6p)²=1/16k²+3kp+36p²
29)(3/4a²-0,5b³)²=(3/4a²-1/2b³)²=9/16a⁴-3/4a²b³+1/4b⁶

Առաջադրանք 2. Բազմանդամը վերլուծի՛ր արտադրիչների. ներկայացրու որևէ արտահայտության քառակուսու տեսքով.

Երկու բազմանդամներ բազմապատկելու համար առաջին բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկում ենք երկրորդ բազմանդամի բոլոր անդամներով, այնուհետև կատարել նման անդամների միացում:

Օրինակ՝ 

(a+b)(a-b)=aa+a(-b)+ba+b(-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b²

Եթե պետք է գտնել մի քանի բազմանդամների արտադրյալը, ապա սկզբում   գտնում են դրանցից որևէ երկուսի արտադրյալը, այնուհետև ստացված բազմանդամը բազմապատկում են մնացածներից որևէ մեկով և այլն:

Օրինակ՝

(a-b)(2a+b)(3a-2b)=(a2a-b2a+ab-bb)(3a-2b)=(2a²-ab-b²)(3a-2b)=2a²3a-ab3a-b²3a-

-b²3a+2a²(-2b)+ab2b+b²2b=6a³-3a²b-3ab²-4a²b+2ab²+2b³=6a³-7a²b-ab²+2b³

Առաջադրանքներ

1) Կատարել բազմապատկում.

1)  (x+2)(x-3)=x²-3x+2x-6=x²-x-6

2) (5x+1)(2x+4)=10x²+22x+4

3) (3b+2)(4-b)=12b-3b²+8-2b

4) (2y-5)(4y-3)=8y²-6y-20y+15=8y²-26y+15

5) (3a+4)(2a-3)=6a²-9a+8a-12=6a²-17a²-12

6) (7z-3)(5z-2)=35z²-14z-15z+6=35z²-29z+6

7) (2-4x²)(1-3x)=2-6x-4x²+12x³

8)(3-2x)(5x+1)=15x+3-10x²-2x=13x+3-10x²

9)(4b-5c)(3b³+4c)=12b⁴+16bc-15cb³-20c²

10) (2x-5y)(3x-2y)=6x²-4xy-15yx+10y²

2) Բազմանդամը վերլուծեք արտադրիչների.

ա)2(x+y) բ)3(2a-1)
գ)a(x-b) դ)a(2+6b)
ե)a(a+1) զ)x(3x²-y²)
է)x(a+b+c) ը)5a(a²+2a+3)

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

3) Կատարեք բազապատկում.

1)(4a²+5b²)(3a²-4b²)=12a⁴-16a²b²+15b²a²-20b⁴=12a⁴-a²b²-20b⁴

2) (-7a³-8b³)(-a³+2b³)=7a⁶-14a³b³+8b³a³-16b⁶

3)(3x-4)(2x²-x+3)=6x³-11x²+13x-12

4) (4z²+1)(5-z²)=-4z⁴+19z²+5

5)(3-5y³)(2-4y³)=20y⁶-22y³+6

6) (2x³+x²)(4x²-5x³)=x⁴ (2x+1)x(4-5x)

7) (4y³+2y²-1)(y+3)=(2y-1)x(2y²+2y+1)x(y+3)

8)(4x²-xy+2y²)(3x-5y)=12x³-23x²y+11xy²-10y³

9)(a+3)(a²-3a+9)=a³+27

10)(2x-3)(9x²+12x+5)=18x³-3x²-26x-15

4) Գրեք արտադրյալը.

Հավելյալ խնդիրներ

5) Բազմանդամը վերլուծեք արտադրիչների.

6) Պարզեցրեք.

Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր: Գումարի և տարբերության քառակուսի (դաս 9)

Առաջադրանք 1. Բարձրացրո՛ւ քառակուսի

Առաջադրանք 2. Բազմանդամը վերլուծի՛ր արտադրիչների. ներկայացրու որևէ արտահայտության քառակուսու տեսքով.

Միանդամը բազմանդամի հետ բազմապատկելիս, պետք է միանդամը հերթականությամբ բազմապատկել բազմանդամի բոլոր անդամներով:
Օրինակ՝
a(2-b+3a)=a2-ab+a3a=2a-ab+3a²

Իսկ հակառակ գործողությունը, երբ բազմանդամը ներկայացվում է միանդամի և մեկ այլ բազմանդամի արտադրյալի տեսքով, կոչվում է ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերում:
Օրինակ՝

x²y+x²y²=x²y(1+y)

Տրված բազմանդամը -1-ով բազմապատկելուց ստացված բազմանդամն անվանում են տրված բազմանդամի հակադիր բազմանդամ:
Օրինակ՝ a-b²+15 և -1(a-b²+15)=-a+b²-15 հակադիր բազմանդամներ են:

Առաջադրանքներ

1) Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը.

ա) x(x-y+10)=x²+xy+10x

բ) (x-y)(-3)=-3x+y3

գ) (a+b-c)a=a²+ab+ac

դ) (a-b+c)2b=2ba+2b²+2bc

2) Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերեք փակագծերից.

ա) 3a+ 3b=3 (a+b)

բ) 2x-2y=2 (x-y)

գ) 5a+10=5 (a+2)

դ) 14-7y=7 (2-y)

ե) 12x+6y=6 (2x+y)

զ) 4-4a=(1-a)

է) ab-bc=b (a-c)

3) Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը.

ա)(x²-xy+y²)(-12x²y³)

բ) 2a²b⁵(a⁴-5ab²-3b²):

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

4) Ձևափոխեք արտահայտությունը կատարյալ տեսքի բազմանդամի.

ա) 4(x-y)+7(x-y)=4x-4y+7x-7y=11x-11y

բ) 2a-3(b-a)=2a-3b+3a=5a-3b

գ) 2(a-b)-3(a+b)=2a-2b-3a-3b=-a-5b

դ) 2ab(a+2b)-3ab(b-a)=2a²b+4ab²-3ab²+3a²b=5a²b+ab²

5) Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը.

ա) -2x(x+y)=-2x²-2xy

բ) (7+3y-xy)(-3xy)=-2xy=9xy²+3x²y²

գ) 3ab(a-2+b)=3ab(+a-2+b)=3aba-3ab2+3abb=3a²b-6ab+3ab²

դ) (-ab)(ab+ac+bc)=-abab-abac-abbc=-a²b²-a²bc-ab²c

6) Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերեք փակագծերից

 ա) a²+ab=a (a+b)   

 բ) b⁵-b²=b² (b³-1)

 գ) x²-x=x (x-1)                       

 դ) x²y²+y⁴=y²(x²+y²)

 ե) 2xy-x³=x (2y-x²)           

զ) 4a⁶-2a³b=2a³ (2a³-b)

7) 

ա) 8abx-6acy-10ak

բ) 63xy-84y²+98ay

գ) 20ax-35bx-40x²:

8)

ա) x³+x²-x=x (x²+x-1)

բ) -5x²y²-5xy²=-5xy² (x+1)

գ) 2a³b-6ab⁴+4a²b³=

դ) 16x+8x²-4x³+2x⁴=

Մի քանի բազմանդամներ իրար գումարելիս կամ հանելիս օգտագործվում են փակագծեր, իսկ այդ փակագծերը բացելու համար պետք է օգտվել հետևյալ կանոններից.

• Եթե փակագծերի առջև դրված է պլյուս նշան, ապա փակագծերը կարելի է բաց թողնել առանց փոխելու նրանց մեջ գտնվող գումարելիների նշանները։
• Եթե փակագծերի առջև դրված է մինուս նշան, ապա փակագծերը կարելի է բաց թողնել փոխելով նրանց մեջ գտնվող գումարելիների նշանները։
• Եթե փակագծերի առջև որևէ նշան չկա, ապա ենթադրվում է, որ դրած է պլյուս նշան:

Առաջադրանքներ

3) Բազմանդամի առաջին երկու անդամները փակագծերի մեջ առեք` դրանց առջև դնելով մինուս նշան, իսկ վերջին երկուսը` փակագծերի մեջ` դնելով պլյուս նշան:

ա) x²-y²+2x-1=(x²-y²)+(2x-1)

բ) -a²-3a²+4-a=(a²+3a²)+(4-3)

գ) 9y²-1-x²-6y=(9y²-1)+(x²-6y)

դ) -x+y+x²-y²=(x+y)+(x²-y²)

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

4) Բացեք փակագծերը և պարզեցրեք.

ա) (5a+3)-(a-4)=5a+3-a+4=4a+7

բ) (x-5y)+(3x-4y)=x-5y+3x-4y=4x-9y

գ) -(x-y)-(3x+y)= x-y+3x+y=4x

դ) -(9-3v)+(12-v)=9-3v+12-v=21+4v

5) Ձևափոխենք արտահայտությունը կատարյալ տեսքի բազմանդամի.

ա) (7a-3b)-(5a+3b)-(a-5b)=7a-3b-5a-3b-a+5b=a-b

բ)  (8x-5)+(3x-7)-(9x-1)

գ) 43x-19y-(15x-34y)+(9x-7y)

դ) 5-7a-(8-6a)+(5+a)

ե) (x²+4x)+(x²-x+1)-(x²-x)

զ) (abc+1)+(-1-abc):

6) Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Առաջադրանքներ

1) Ո՞ր միանդամներն անվանում նման:

    Ինչպե՞ս ենք գումարում, հանում նման միանդամները:

2) Տրված միանդամների մեջ գտեք նմանները

ա) 2a³b;  3a⁴b²; 4a³b;  80a⁴b²; a³b;  -a⁴b²;  a;  -c;  6px; 6a⁴b²; -5px

բ)  0a²b³; -3a³b²; 0ab; 12a²b³; 2a³b²

3) Գտեք նման միանդամների գումարին հավասար միանդամը

ա) 3m+5m

բ)  15a²b+14a²b+7a²b

գ)  25b²c³+(-27)b²c³+7b²c³

4) Գտեք նման միանդամների տարբերությանը հավասար միանդամը

ա) a-3a=-2a

բ) 10b-18b

գ) 3bc-17bc

դ) mk-3mk

ե) 4b²c-12b²c

զ) 18a³b⁵-9a³b⁵

5) Կատարեք նման անդամների միացում

ա) 6a⁸b²+7a⁸b²+(-2)a⁸b²

բ) 0c²e⁵+4c²e⁵-16c²e⁵