Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր պատկերն է կոչվում գլան։ GEOGEBRA ծրագրով գծել գլան:
Ուղղանկյունը նրա որևէ կողմի շուրջը պտտումից առաջացած տարածական մարմինը կոչվում է գլան։

2․ Ինչպե՞ս կարելի է ստանալ գլան։
Գլանը ստանալու համար ուղղանկյունը պտտում ենք մի կողմի շուրջ։

3․ Ո՞րն է գլանի առանցքը, հիմքերը, շառավիղը, առանցքային հատույթը և ծնորդը։
Շրջանների կենտրոններով անցնող ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք, շրջանները՝ գլանի հիմքեր, իսկ դրանց շառավիղները՝ գլանի շառավիղներ:Գլանի առանցքն ընդգրկող հարթությունը գլանի հետ ունի ընդհանուր մաս, որը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ:Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է, որի երկու հանդիպակաց կողմերը հիմքի տրամագծեր են: Իսկ մյուս երկու տրամագծեր չհանդիսացող կողմերը կոչվում են ծնորդներ:Գլանի ծնորդները հավասար են:

4․ Ի՞նչ պատկեր է գլանի առանցքային հատույթը։
Գլանի առանցքն ընդգրկող հարթությունը գլանի հետ ունի ընդհանուր մաս, որը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ։

5․Գլանի առանցքային հատույթը քառակուսի է: Գտեք գլանի ծնորդի և շառավիղի հարաբերությունը:

6․ Գլանի առանցքային հատույթը 40սմ պարագծով մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: Գտեք գլանի շառավիղը:

7․Գլանի առանցքային հատույթը մի ուղղանկյուն է, որի անկյունագիծը ծնորդ հանդիսացող կողմի հետ կազմում է 60⁰-ի անկյուն: Գտեք այդ անկյունագիծը, եթե գլանի ծնորդի երկարությունը 6սմ է:

8․ Գլանաձև բաժակը կիսով չափ լցված է թեյով: Գոլորիշիանալուց հետո թեյի հետքը մնացել էր բաժակի պատերին: Երկրաչափական ի՞նչ պատկեր է այդ հետքը:

9․ Գլանաձև ցիստեռնի մի մասը լցված է հեղուկով: Ի՞նչ պատկեր է հեղուկի մակերևույթը: Դիտարկեք ցիստեռնի տեղադրման երկու դեպք՝ ուղղաձիգ և հորիզոնական:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր բազմանկյունն է կոչվում կանոնավոր։ Բերել օրինակներ
Կանոնավոր բազմանկյուն է կոչվում այն ուռուցիկ բազմանկյունը, որի բոլոր անկյունները  և բոլոր կողմերը հավասար են։

2. GEOGEBRA ծրագրով գծել կանոնավոր եռանկյանը ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր։
ներգծյալ

արտագծյալ

3․GEOGEBRA ծրագրով գծել կանոնավոր քառանկյանը ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծեր։

4․Ճշմարի՞տ է արդյոք հետևյալ պնդումը
ա) յուրաքանչյուր կանոնավոր բազմանկյուն ուռուցիկ բազմանկյուն է,
ճիշտ է
բ) ցանկացած ուռուցիկ բազմանկյուն կանոնավոր բազմանկյուն է։
սխալ է

5․Հետևյալ պնդումներից որո՞նք են ճշմարիտ

ա) բազմանկյունը կանոնավոր է, եթե այն ուռուցիկ է, և նրա բոլոր կողմերը հավասար են։
Ճիշտ է քանի որ այն ուռուցիկ է։

բ) եռանկյունը կանոնավոր է, եթե նրա բոլոր անկյունները հավասար են։
Ճիշտ է քանի որ բոլոր անկյունները իրար հավասար են։

գ) հավասար կողմերով յուրաքանչյուր քառանկյուն կանոնավոր քառանկլյուն է։
Ճիշտ է քանի որ կողմերը իրար հավասար են։

6․ Տրված է 13,4 դմ կողմով EFGH քառակուսին:

ա) Հաշվիր քառակուսուն ներգծված շրջանագծի շառավիղը:

բ) Հաշվիր քառակուսու մակերեսը:

7․Տրված է հավասարակողմ եռանկյուն, BO=16սմ: 

ա) Գտնել ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

բ) Գտնել հետևյալ հատվածների երկարությունները:  OE, BE, AD։

Հարցեր և առաջադրանքներ

1․Ո՞ր բազմանկյունն է կոչվում կանոնավոր:
Կանոնավոր բազմանկյուն է կոչվում այն ուռուցիկ բազմանկյունը, որի բոլոր անկյունները  և բոլոր կողմերը հավասար են։

2.Գրել կանոնավոր բազմանկյան անկյան հաշվման բանաձևը:

3. GEOGEBRA ծրագրով գծել կանոնավոր բազմանկյուններ:

4. Գծագրից գտնել ուռուցիկ բազմանկյունները և նշել նրանց համարները:

1,5,6,9,10

5. Գտնել կանոնավոր n-անկյան անկյունները, եթե՝
ա) n=3 α₃=3-2։3*180=60
բ) n=5 α₅=5-2։5*180=108
գ) n=6 α₆=6-2։6*180=120
դ) n=10 α₁₀=10-2։10*180=144
ե) n=18 α₁₈=18-2։18*180=160

6. Որոշել կանոնավոր 15 -անկյան ներքին և արտաքին անկյունները:

7. Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, եթե նրա յուրաքանչյուր անկյունը հավասար է`  
ա) 150^o
(n-2)/n*180=150
(n-2)/n=5/6
n-2=5/6n
n/6=2
n=12  
բ) 135^o
(n-2)/n*180=135
(n-2)/n=3/4
n-2=3/4n
n/4=2
n=8
գ) 90^o
(n-2)/n*180=90
(n-2)/n=1/2
n-2=1/2n
n/2=2
n=4
դ) 60^o
(n-2)/n*180=60
(n-2)/n=1/3
n-2=1/3n
n/3=2
n=6   
ե)30^o
(n-2)/n*180=30
(n-2)/n=
n-2=
n/=2
n=12

8. Քանի՞ կողմ ունի կանոնավոր բազմանկյունը, եթե նրա արտաքին անկյուններից յուրաքանչյուրը հավասար է՝ 
ա) 40^o   
180-40=140
(n-2)/n*180=140
(n-2)/n=7/9
n-7/9n=2
2/9n=2
n=9
բ) 36^o
180-36=144
(n-2)/n*18=144/180
n-2=4/5n
4/5n=2
n=10   
գ) 30^o
180-30=150
(n-2)/n*180=150
(n-2)/n=5/6
n-2=5/6n
n/6=2
n=12   
դ) 24^o
180-24=156
(n-2)/n*180=156
(n-2)/n=13/15
n-2=13/15n
2/15n=2
n=15

9. Որոշել կանոնավոր բազմանկյան կողմերի թիվը կամ եզրակացրու, որ այդպիսի բազմանկյուն գոյություն չունի, եթե տրված է բոլոր ներքին անկյունների գումարը:

ա) Եթե անկյունների գումարը 2050 աստիճան է, ապա բազմանկյունը գոյություն ….., կողմերի թիվը` …..:

բ) Եթե անկյունների գումարը 1980 աստիճան է, ապա բազմանկյունը գոյություն ……, կողմերի թիվը` …..:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ինչպիսի՞ հնարավոր դասավորվածություն կարող են ունենալ տրված շրջանագծերը եթե նրանց կենտրոնների միջև հեռավորությունը հավասար է 20սմ, իսկ շառավիղները համապատասխանաբար հավասար են՝
ա) 15 սմ և 10 սմ բ) 10 սմ և 10 սմ գ) 5սմ և 7 սմ: GEOGEBRA ծրագրով գծել ստացված պատկերները։

2.Հարթության վրա երկու իրարից տարբեր շրջանագծեր կարող են (ընտրիր ճիշտ պատասխանները)՝ 

• չհատվել
• չունենալ ընդհանուր կետ
• հատվել երեք կետերում
• ունենալ 6 ընդհանուր կետ

3․Քանի՞ ընդհանուր կետ ունեն շրջանագծերը: Ընտրել ճիշտ տարբերակը:

• 2
• անվերջ թվով
• 1
• 0

4․Գտնել ED-ն, եթե AC= 4 սմ, իսկ շրջանագծերի կենտրոնների միջև հեռավորությունը 5 սմ է: 

ED=AD-AE=1

5․Գծել տրված O և B կենտրոններով մեկ ընդհանուր կետ ունեցող շրջանագծեր, որոնց շառավիղները հավասար են՝ r₁=28 սմ և r₂=10 սմ: Հաշվել OB հեռավորությունը:

38

6․ Տրված են այս երկու շրջանագծերը, որոնք ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

r₁-ը և r₂-ը համապատասխանաբար մեծ և փոքր շրջանագծերի շառավիղներն են: Ընտրել ճիշտ պնդումը:

• OB>r₁+r₂
• r₁+r₂=OB
• r₁+r₂>OB

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր  շրջանագիծն  է  կոչվում  բազմանկյանը  արտագծյալ:
Եթե բազմանկյան բոլոր գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան արտագծյալ շրջանագիծ:  

2․ Քանի՞  շրջանագիծ  կարելի  է  արտագծել  տրված  եռանկյանը:
1

3․ Հնարավո՞ր  է  արդյոք  ցանկացած  քառանկյան  արտագծել  շրջանագիծ: 
ոչ

4․ Ի՞նչ  հատկություն  ունի  շրջանագծին  ներգծված  քառանկյունը:
Ցանկացած ներգծյալ քառանկյուն հանդիպակաց անկյունների գումարը 180⁰ է:

5․Սեղանին արտագծված է շրջանագիծ: Հաշվիր սեղանի մյուս անկյունները, եթե անկյուններից մեկը՝ F=10° է:

Ցանկացած ներգծյալ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180⁰ է:
E+F=180 ապա E=170
Ցանկացած սեղանի սրունքին առընթեր անկյունների գումարը 180° է:
Քանի որ E=10 ապա G=170

6․ Գտնել B և D անկյունները։

Ցանկացած ներգծյալ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180⁰ է:
Քանի որ R=85 ապա D=95
Քանի որ I=117 ապա B=63

7․ O կենտրոնով շրջանագծին ներգծված է ZXY եռանկյունն այնպես, որ ZX-ը  տրամագիծ է։ ZY աղեղի աստիճանային չափը հավասար է 104⁰ -ի։ Գտնել ZXY եռանկյան անկյունները։

Կիսաշրջանագծի վրա հենված ներգծյալ անկյունը 90° է դրանից => Y=90^o
Ներգծյալ անկյունը չափվում է այն աղեղի կեսով, որի վրա նա հենվում է՝ =>
x=ZY/2=52 Z=180-90-52=38

8․ Օգտվելով գծագրից, գտնել ∠ B-ը։

Կիսաշրջանագծի վրա հենված ներգծյալ անկյունը 90° է դրանից => C=90^o
B=180-90-46=44

9․ Գտնել ∠ R-ը և ∠B-ն։

Ցանկացած ներգծյալ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը 180⁰ է:
Քանի որ A=92 ապա R=88
Քանի որ E=74 ապա B=106

10․ ABC եռանկյանը արտագծված է շրջանագիծ։ Գտնել այդ շրջանագծի շառավիղը, եթե AC=24 սմ, ∠A=60⁰, ∠B=30⁰:
r=AB/2 քանի որ ∠B=30 է , եռանկյուն ABC ուղղանկյուն եռանկյուն է => AC=AB/2 => r=6

11. Արդյոք կարելի՞ է տրված ABCD քառանկյանը արտագծել շրջանագիծ, եթե
ա)∠A=64⁰, ∠ B=95⁰, ∠C=106⁰
բ) ∠A=72⁰, ∠B=69⁰, ∠D=111⁰
գ) ∠A=90⁰, ∠C=90⁰, ∠D=80⁰:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Գրել անկյան կիսորդի հատկությունը։
Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է անկյան կողմերից:

2․ Թվարկել եռանկյան նշանավոր կետերը։

3․ Եռանկյան մեջ տարված են միջնագծեր և բարձրություններ: Դրանց վերաբերյալ թվարկված պնդումներից որ՞ն է ճիշտ:

ա Եռանկյան բարձրությունները հատվելիս բաժանվում են 4:1 հարաբերությամբ հատվածների:

բ Եռանկյան միջնագծերը հատվելիս բաժանվում են 2:1 հարաբերությամբ հատվածների:

գ Եռանկյան միջնագծերը հատման կետով բաժանվում են 3:2 հարաբերությամբ հատվածների:

դ Բոլոր պնդումներն էլ սխալ են:

4․ Ո՞ր  շրջանագիծն  է  կոչվում  բազմանկյանը  ներգծյալ։
Բազմանկյան ներգծյալ կոչվում է այն շրջանագիծը, որը անցնում է բոլոր բազմանկյանի անկյուններից։ Դա այն շրջանագիծն է, որը անցնում է բոլոր անկյունների միջոցով։

5․ Նշել եռանկյունները, որոնց արտագծված է շրջանագիծ:

ա) PRT բ) EFG գ) KLM դ) MNL ե) ABC զ) DEF

6․ ABC հավասարասրուն եռանկյան AB և BC կողմերին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: BM ուղիղը AC հիմքը հատում է N կետում: Որոշիր NC, եթե AC=36սմ

7․ Հաշվել քառանկյան անհայտ կողմը, եթե նրան ներգծված է շրջանագիծ: FG=10սմ, EH=15սմ, HG=12սմ

Հարցեր և առաջադրանքներ

1․ Ո՞ր  շրջանագիծն  է  կոչվում  բազմանկյանը  ներգծյալ։
Եթե բազմանկյան բոլոր կողմերը շոշափում են շրջանագիծը, ապա շրջանագիծը կոչվում է այդ բազմանկյան ներգծյալ շրջանագիծ:

2․ Քանի՞  շրջանագիծ  կարելի  է  ներգծել  տրված  եռանկյանը:

1

3․GEOGEBRA ծրագրով գծիր եռանկյուն, ներգծիր եռանկյանը շրջանագիծ, նկարը ցույց տուր։

4․Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերը հավասար են 4 սմ և 9 սմ։ Գտնել սեղանի պարագիծը։
2x=4+9
x=6,5

5․Ներգծյալ շրջանագծի շոշափման կետում հավասարասրուն եռանկյան սրունքը տրոհվում է 3 սմ և 4 սմ երկարությամբ հատվածների՝ հաշված հիմքից: Գտե՛ք այդ եռանկյան պարագիծը:

6․ Գտե՛ք 6 սմ և 8 սմ էջերով և 10սմ ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:
r=a+b-c/2
r=6+8-10/2=2

7․ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 13սմ է, իսկ էջերի գումարը՝ 17սմ: Գտե՛ք եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

r=a+b-c/2
r=17-13/2=2

8․ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 15 սմ է, իսկ պարագիծը՝ 36սմ: Գտե՛ք այդ եռանկյան ներգծյալ շրջանագծի շառավիղը:

a+b+15=36
36-15=21
a+b=21
r=a+b-c/2
r=21-15/2=3

Հարցեր և առաջադրանքներ

1․ Գրել չորս նշանավոր կետերը։
ներգծյալ շրջանագծի կենտրոն
արտագծյալ շրջանագծի կենտրոն
ծանրության կենտրոն
եռանկյան օրտոկենտրոն

2․ Լուծել խնդիրը

AB ուղահայաց է OM

3․ Լուծել խնդիրը

4․ Լուծել խնդիրը

ա)AD-ն և CD-ն եթե BD=5սմ AC=8,5սմ
բ)AC-ն եթե BD=11,4սմ AD=3,2սմ

1․ Ըստ գծագրերի տվյալների գտնել x-ը.

ա)

x=360-152-80=128

բ)

x=360-125-60=175

գ)

x=180-112=68

դ)

x=360-215-2*20=105

ե)

զ)

x=130/2=65

է)

x=180

ը)

2. AB կիսաշրջանագծի վրա վերցված են C և D կետերն այնպես, որ ∪AC=57^o, ∪BD=63^o : Գտեք CD լարը, եթե շրջանագծի շառավիղը 14 սմ է։

3. Հաշվիր AOB եռանկյան անկյունները, եթե ∪AnB=130°

       n

a=∪AB/2
<AOB=∪AnB/2=130/2=65
180-65=125

4. Հաշվիր AC և BC լարերի կազմած ACB անկյունը, եթե ∪BMC=32° և ∪AKC=126°

<ABC=∪AKC/2=126/2=63
<BAC=∪BMC/2=32/2=16
180-16-63=101

5. ACB աղեղի աստիճանային չափը 342° է: Գտիր  ∡ AOB  և ∡ ACB անկյունը

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ի՞նչ է աղեղը։
Աղեղը կոչվում է կիսաշրջանագիծ, եթե նրա ծայրերը միացնող հատվածը այդ շրջանագծի տրամագիծ է։

2․Ո՞ր անկյունն է կոչվում կենտրոնային։ GEOGEBRA ծրագրով գծել կենտրոնային անկյունը։

3․ Ո՞ր անկյունն է կոչվում ներգծյալ։ GEOGEBRA ծրագրով գծել ներգծյալ անկյունը։

4․ AB լարի վրա հենված կենտրոնական անկյունը հավասար է 56°։ Գտնել AB աղեղի աստիճանային չափը։

5․ Որքա՞ն է կենտրոնային անկյունը, եթե նրան համապատասխանող ներգծյալ անկյունը 68° է:

6․ Դիցուք BAC անկյունը 48° է: Որքա՞ն է BnC աղեղի աստիճանային չափը՝ 

7․ Գտնել  ASB անկյունը, եթե ASB աղեղի աստիճանային չափը 258° է:

8․ Գտնել  BOC և BAC անկյունները, եթե ∪AB=147° և ∪AC=135°